一维KLT光流法
给定图片\(I\)上的一个特征点\(\mathbf{x}\)和对应的搜索向量\(\mathbf{n}\)，求在另一张图\(J\)中找到匹配的点\(\mathbf{x'}\)。假定在图\(J\)上的搜索起始位置为\(\mathbf{x} _{init}'\)，搜索窗口为\(W\)，迭代次数\(K\)（在实际使用中，我们往往会将\(\mathbf{x} _{init}'=\mathbf{x}\)）123。
计算步骤
- 分别对图像\(I\)和图像\(J\)建立金字塔\(\lbrace I^L \rbrace _{L=0,…,L _m}\)和\(\lbrace J^L \rbrace _{L=0,…,L _m}\)，\(L _m\)为给定的金字塔层数，一般为3（图像金字塔化一般包括两个步骤：首先对图像进行一次低通滤波进行平滑，然后对图像的横纵两个方向1/2抽样，从而得到一系列尺度缩小的图像。当L＝0时，为原图，当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率降低，伴随的细节就越少。我们从顶层开始对目标点进行跟踪，先获得一个粗糙的结果，然后将结果作为下一层的初始点再进行跟踪，不断迭代直到到达第0层。这是一种由粗到细分析策略）。
初始化顶层金字塔的搜索偏移位置：\(\mathbf{g}^{L _m}=[g _{x}^{L _m}\ g _{y}^{L _m }]^T =[0\ 0]^T\)
从第\(L=L _m\)层(顶层)金字塔图像开始不断往下，对每一层图像作作以下操作：
(3.1) 计算特征点\(\mathbf{x}\)在金字塔第\(L\)层图\(I^L\)上的位置：\(\mathbf{x}^L=[p _x\ p _y]^T=\mathbf{x}/2^L\)。
(3.2) 计算搜索起始位置\(\mathbf{x} _{init}'\)在金字塔第\(L\)层图\(J^L\)上的位置：\(\mathbf{x}'^L=[p' _x\ p' _y]^T=\mathbf{x} _{init}'/2^L\)。
(3.3) 计算最速下降矩阵\(\mathbf{S}(u,v)=[I _x (p _x+u,p _y+v)\ I _y (p _x+u,p _y+v)]\mathbf{n}\)，\((u,v)⊆W\)，\(\mathbf{S}\)矩阵跟窗口\(W\)大小一致。其中，\(I _x (x,y)\)，\(I _y (x,y)\)为图\(I^L\)在\((x,y)\)位置\(X\)和\(Y\)两个方向的梯度。
(3.4) 计算在特征点\(\mathbf{x}\)在第\(L\)层的空间梯度值\(\textstyle m^L = \sum _{(u,v)⊆W} \mathbf{S}(u,v)^2\)。\(m^L\)体现的是，图\(I^L\)中，位于\(\mathbf{x}^L\)的窗口\(W\)内，图像在\(\mathbf{n}\)方向的梯度变化。
(3.5) 初始化位置迭代参数\(\mathbf{\Gamma}^0 = [{\Gamma} _{x}^0 \ {\Gamma} _{y}^0]^T = [0\ 0]^T\)，参数记录了偏移位置，用于寻找偏移了的特征点。
(3.6) 变量\(k\)从1到\(K\)（\(K\)为控制变量，用于控制(3.6.1)至(3.6.3)的迭代次数），迭代以下操作：
(3.6.1) 此时，特征点在图\(J^L\)的跟踪位置在\((p' _x+g _x^L+{\Gamma} _x^{k-1},p' _y+g _y^L+{\Gamma} _y^{k-1} )\)，计算图像偏差值\(b^k = \sum _{(u,v)⊆W}[\mathbf{S}(u,v)[I^L (p _x+u,p _y+v)-J^L (p' _x+g _x^L+{\Gamma} _x^{k-1},p' _y+g _y^L+{\Gamma} _y^{k-1} )]\)。
(3.6.2) 更新位置迭代参数\(\mathbf{\Gamma}^k=\mathbf{\Gamma}^{k-1}-(b^k/m^L)\mathbf{n}\)。
(3.6.3)\(k=k+1\)，回到(3.6.1)继续迭代。
(3.7) 在\(L\)层金字塔最终跟踪偏移：\(\mathbf{d}^L=\mathbf{\Gamma}^k\)。
(3.8) 初始化下一层金字塔的跟踪偏移位置：\(g^{L-1}=2(g^L+d^L)\)。
(3.9)\(L=L-1\)，回到(3.1)继续迭代。
- 特征点\(x\)在图\(J\)中的匹配的点位置\(\mathbf{x}'=\mathbf{x} _{init}'+g^0+d^0\)。
